前言
在学习分式方程时，我们会初次接触到“增根”这个概念。我这边用的北师大版教材上对于增根没有过多的阐述，只是举例在某个分式方程中解出来一个$x$，发现它使得原分式方程分母为0，便称其为原方程的增根。单看这个定义，还蛮好理解的，将这个$x$代入原分式方程后，会出现无意义的分式，自然不能算作原方程的根。可直到我遇到了这样一道题，才让我对增根有了更深一些的了解……
关于该题目
题面：若关于$x$的方程$\dfrac{m}{x+3}-\dfrac{1}{x^{2}-9}=2$有增根，则增根可能是（）。
A. $x=3$ B. $x=-3$ C. $x=\pm \sqrt{3}$ D. $x=\pm 3$
当时，老师告诉我们选D，理由很简单：若分式$\dfrac{m}{x+3}$无意义，则增根可能为$x=-3$；若分式$\dfrac{1}{x^{2}-9}$无意义，则增根可能为$x=-3,\, 3$。综合来看，原方程的增根可能为$x=\pm 3$。
可我还另外注意到了$m$这个常数，有些题目中会要求求出这个$m$的值，将某个增根代入去分母后的整式方程解出$m$即可。那么这个分式方程对应的整式方程应是$m(x-3)-1=2(x^{2}-9)$，将$x=-3$代入，解得$m=-\frac{1}{6}$；而当我们将$x=3$代入时，会得到$-1=0$（或其他类似的），这即是说明，当$x=3$时，无论$m$取什么值（起码在实数范围内取）这个柿子恒不成立，我们求不出$m$来。于是我便想，会不会根本就不存在$x=3$这个增根呢？
第一次争议
理所当然地，我找到了老师询问，但我得到的解释是：不用过多考虑$m$的值，求增根只要看是否能使原分式方程分母为0即可，不然这道题怎么没让你求$m$呢？
——实在是太过牵强的解释，这是个关于$x$的方程，$m$是一个常数，一定有值，怎么能不纳入考量。但当时我的确是没想出这些话来反驳（大概是那时我自己对于这道题的感觉也是相当模糊吧），于是我只能不甘地离开（当然只是在心里不甘）。
再次深入理解
后来我突然想到，也许是我们对增根的定义还不够理解？便又问了问度娘：在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程解的条件是使原方程分母不为0。若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根。
没错，上述定义中加粗的部分正是我想要的，它说明了增根需要满足的两个条件：是原分式方程去分母后得到的整式方程的根、以及使原分式方程分母为0。现在，在结合先前提到的那道题，柿子恒不成立即是说：对于任何$m$，$x=3$都不是整式方程的根，故不可能是增根。
第二次争议（最后一次）
其实只要考虑到增根的定义，答案就不模糊了，但我不能直接说我是问的度娘，于是乎又苦苦地在老师的教参上寻找相关定义……还好最后还真让我找着类似的了（那么为什么教材上给的定义如此“精简”呢），老师也终于认同了我的观点（这样说的话感觉过程很艰辛一样，其实只不过是个定义而已（苦笑））。
还有一处特别重要
上文曾提到“整式方程的根”，这里的整式方程是哪里来的？是原分式方程去分母后得到的。那么“去分母”这一步具体如何操作？将原分式方程乘上最简公分母再约分就可以得到。
——能不能不乘最简公分母，而是直接乘某个公分母呢？这里我们考虑一个简单的分式方程$$\frac{1}{x-1}=0.$$显然它的最简公分母是$x-1$，而原方程乘上$x-1$后得到$1=0$，说明整式方程无根，故原分式方程无增根；但是我们若将原方程乘上一个非最简公分母$(x-1)^{2}$，就会得到$x-1=0$，解得$x=1$，发现它是原分式方程的增根，即原方程有一个增根$x=1$。
因此我们可以发现：乘不同的公分母，得到的整式方程不同，从而导致增根的数量可能不同。
我先前提到的题目也是如此，可能当原方程乘上某个非最简公分母时，$x=3$也会成为原方程的增根。所以，为了避免方程复杂化，我们强调在“去分母”这一步时，应该乘上最简公分母。
后话
之所以老师对此了解得不够深入，大概是因为我们这边近些年来中考也不常考察这类内容。甚至在教材中都没有较为详细的描述，难道是增根这个概念有些模糊了吗……？